Оценочная теория чисел

Рассмотрим числа, полученные при вычеркивании последних цифр. Предположим, что все они имеют вид , где . Покажем, что все различные. Предположим противное, пусть нашлись два числа и такие, что . Ясно, что . Пусть . Вычтем из первого числа число , где подобрано так, чтобы количество цифр в уменьшаемом и вычитаемом было одинаковым. Полученная разность делится на . Но при этом эта разность равна числу, которое было вычеркнуто, то есть в нём не более цифр. А в числе хотя бы цифр. Таким образом, делимость невозможна. Значит, все различны. Но тогда среди них найдётся , большее , потому что их . Получили требуемое.