Оценочная теория чисел

Запишем неравенство в таком виде:

Ясно, что мощность не меньше мощности Поэтому возведение в квадрат будет равносильным переходом:

Давайте определим множества элементов, которые запрещены в множестве

Заметим, что Действительно, потому что множества и не пересекаются. Запишем по формуле включения-исключения:

Давайте заметим, что является подмножеством Тогда давайте будем доказывать более сильное неравенства, дополним элементами до Тогда неравенство примет вид:

Запишем его так:

Теперь становится ясно, что достаточно доказать неравенство Оно очень похоже на неравенство о средних, поэтому возникает желание доказать неравенство

Докажем его индукцией по количеству простых делителей База при (нет простых делителей) очевидна. Теперь докажем переход. Пусть где — простое. Тогда для неравенство является верным и осталось понять, как его использовать.

Как известно, делители числа, свободного от квадратов, можно разбить на пары Отсюда следует, что Пусть где а я дополняет его до Аналогично определим для и для Определим множества и для числа В силу определения этих множеств включает включает Также (если поделить все элементы и на то будет такое же включение). Проделаем следующую цепочку равенств и неравенств с помощью предположения индукции:

Осталось показать, что Если привести подобные, получится неравенство которое равносильно неравенству В силу определения множеств если , то и если то То есть первая скобка неположительная, а вторая неотрицательная, это даёт требуемое.