Оценочная теория чисел
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные числа 
и 
Ни одно из них не кратно другому. Известно, что число 
делится на 
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1:
Будем доказывать от противного. Если дана делимость одного выражения на другое, то есть смысл рассмотреть какую-нибудь их линейную комбинацию.
Подсказка 2:
Рассмотрим разность abc + 1 и ab – b + 1, она равна b(ac – a + 1). Она тоже делится на ab – b + 1. Какие выводы можно сделать?
Подсказка 3:
Ясно, что b не имеет общих делителей с ab – b + 1. Значит, ac – a + 1 делится на ab – b + 1.
Подсказка 4:
Вспомним, что задача решается от противного, то есть предполагается, что b ≥ c + 1. Есть ощущение, что при таком раскладе ab – b + 1 редко когда меньше ac – a + 1.
Первое решение. Предположим противное: пусть 
Из делимости 
на 
следует, что число
кратно 
Поскольку числа 
и
взаимно просты, получаем, что 
делится на 
Ясно, что 
поэтому либо
либо
В первом случае получаем
и, значит, 
делится на 
что невозможно по условию. Во втором случае имеем
то есть
Это значит, что 
то есть 
но это также невозможно по условию, ибо тогда снова 
делится на 
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Опять же предположим противное. Поскольку 
делится на 
то и
тоже кратно 
то есть
при некотором натуральном 
Иначе говоря,
Значит, 
делится на 
По нашему предположению, 
С другой стороны, поскольку 
имеем
откуда 
Значит,
и потому
Теперь 
переписывается в виде
то есть
Но тогда
то есть 
делится на 
Это невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
