Оценочная теория чисел
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все натуральные делители натурального числа разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что все суммы — простые числа. Докажите, что все они различны.
Подсказка 1.
Допустим, в одну пару попали числа, которые имеют общий делитель d > 1. Может ли тогда их сумма быть простым числом?
Подсказка 2.
Нет, не может. Это следует как раз из наличия общего делителя. Как тогда можно разбить делители исходного числа на пары?
Подсказка 3.
Числа в одной паре должны в произведении давать исходное. Чтобы это понять, нужно вспомнить, что не менее половины делителей числа делятся на простое p.
Заметим, что если 
является простым числом, то 
и 
взаимно просты. Далее докажем, что если 
и 
— два делителя
числа 
и 
то эти делители не могут быть взаимно просты. Рассмотрим 
такое, что его степень вхождения в
больше, чем в 
(оно есть, поскольку 
Тогда 
должно делить и 
и 
Докажем, что в каждой
паре делителей их произведение должно быть в точности 
Пусть в какой-то паре оно меньше. Поскольку произведение
всех делителей — это 
найдётся пара, в которой произведение больше, чем 
По доказанному, сумма этих двух
делителей не может быть простым числом, противоречие. Итак, в каждой паре делителей их произведение одинаково.
Поскольку делители различны, их суммы совпадать не могут, ведь пара чисел однозначно восстанавливается по сумме и
произведению.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
