Войти через ВК
Каталог курсов
Каталог задач
Отзывы
Акции
О нас
Контакты
Благотворительность
Обратная связь
Политика конфиденциальности
Сведения об образовательной организации
Договор оферты
Партнерам
Телефон
Telegram
Вконтакте
Каталог задач
Отзывы
Акции
Контакты
Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Оценочная теория чисел

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела теория чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#132542

Найдите все пары различных натуральных чисел a и b такие, что b2+ a+1 делится на ab− 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

В задачах на делимость x на y часто помогает поиск выражения, сравнимого с x по модулю y, абсолютное значение которого мало отличается от y.

Подсказка 2.

Если a > b, то само выражение отлично подходит на эту роль. Иначе хочется как-то избавиться от большого слагаемого b². Как это можно сделать?

Подсказка 3.

Докажите, что b является обратным остатком к a. Тогда мы можем заменить b на 1/a в нашей делимости и привести выражение к общему знаменателю.

Показать ответ и решение

Разберем два случая.

Пусть a> b. Предположим, что частное от деления данных чисел не меньше 2. Тогда

2 b + a+ 1≥ 2(ab− 1),

откуда

2 2 b + b+ 1≥a(2b− 1)≥ (b+1)(2b− 1)=2b + b− 1.

Значит, 2≥ b2, откуда b= 1. Значит 2+ a делится на a− 1, откуда 3 делится на a − 1. То есть a =2 или a= 4. Если же частное от деления равно 1, то

b2+ a+ 1= ab− 1,

откуда

b2+ 2= a(b− 1).

Тогда

b2+ 2≡ 3≡ 0 (mod b− 1),

откуда b= 2 или b=4. В первом случае находим a+ 5= 2a − 1, откуда a= 6. Во втором случае находим 17+ a= 4a − 1, то есть a =6.

Теперь разберем случай a< b. Тогда

a(b2+ a+1)≡ ab2+a2+ a≡ b+ a2 +a ≡0 (mod ab− 1).

Предположим, что частное от деления больше 1. Тогда

a2+ a+ b≥ 2(ab− 1),

откуда

a2+ a+ 2≥ b(2a− 1) ≥2a2+ a− 1.

Тогда 3 ≥a2, откуда a= 1. Тогда b+ 2 делится на b− 1, откуда снова b= 2 или b= 4. Наконец, если частное от деления равно 1, то

2 b+ a + a= ab− 1.

Тогда

a2+a +1= b(a − 1).

Значит,

a2+ a+ 1≡ 1+ 1+1 ≡3 ≡0 (mod a− 1),

откуда a= 2 или a= 4. В первом случае

4+ 2+ 1= 7= b.

Во втором случае 21= 3b, откуда b= 7.

Ответ:

(1,2), (1,4), (2,6), (4,6), (2,7), (4,7) и их перестановки

Специальные программы

Все специальные программы
Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse

Мы в социальных сетях

©2025 «Школково». Все права защищены.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!