Оценочная теория чисел

Первое решение. Если мы сразу получаем В случае требуемое неравенство равносильно что легко проверяется, так как пара не удовлетворяет условию Теперь предположим, что и обозначим Требуемое неравенство принимает вид

Предположим, от противного, что Определим

Из условия следует откуда мы получаем Заметим, что должно выполняться в противном случае что невозможно. Мы видим, что так как — это произведение последовательных целых чисел. Таким образом, откуда следует, что

Если то является произведением целых чисел, не превосходящих тогда как является произведением целых чисел, превосходящих Следовательно, что является противоречием.

Остаётся исключить случай Так как то Следовательно, из (1) мы можем заключить, что

Теперь является произведением целых чисел, не превосходящих таким образом, оно меньше, чем Снова мы приходим к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Как и в предыдущем решении, мы можем предположить, что и пусть Предположим, от противного, что Из условия мы имеем

из чего следует, что все простые делители не превосходят

Пусть — простой делитель Если или то делит одно из чисел …, что невозможно. Следовательно, Кроме того, должно выполняться в противном случае,

откуда что опять же невозможно. Таким образом, мы имеем и так как Следовательно, также.

Если то интервал содержит не более одного целого числа и, следовательно, не более одного простого числа, которое должно быть равно Так как мы должны иметь или что абсурдно, поскольку Таким образом, мы имеем и значит, Отсюда следует, что лежит в интервале

Таким образом, каждый простой множитель, входящий в разложение лежит в интервале и его степень в точности равна 1. Поэтому мы должны иметь

Однако является произведением чисел, не превосходящих поэтому оно меньше, чем Это противоречие.