Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Оценочная теория чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#132582

Натуральные числа $a,b,c,d,e$ и $f <a$ таковы, что $abd+1$ делится на $c,$ $ace+1$ делится на $b,$ $bcf +1$ делится на $a.$ Докажите, что если $d∕c< 1− e∕b,$ то $d∕c <1− f∕a.$

Показать доказательство

Из условия очевидно, что

НОД (a,b) =НО Д(b,c)=Н ОД(c,a)= 1.

Заметим, что

a |abd+ ace +bcf +1,

так как $a|bcf +1.$ Аналогично,

b|abd+ ace+bcf + 1

c|abd+ ace+bcf + 1

Из попарной взаимной простоты $a,b,c$ следует, что

abc|abd +ace+ bcf + 1 =⇒ abd+ace+ bcf + 1≥ abc.

Преобразуем неравенство из условия:

dc <1 − eb ⇐ ⇒ bd+ ec <bc,

а так как обе части целочисленные имеем $bd+ ec≤bc− 1,$ также $f ≤ a− 1,$ тогда

abd +ace+bcf + 1= a(bd+ ce)+ bcf +1≤ a(bc− 1)+bc(a − 1)+ 1=

2abc− a− bc+ 1< 2abc =⇒

abc≤ abd +ace+ bcf + 1< 2abc.

Так как

abc|abd+ ace+ bcf +1

имеем

abd+ ace+ bcf +1= abc.

Тогда

abc >bcf + abd =⇒ ac> cf + ad =⇒ d <1 − f . c a

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse