Тема . ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Оценочная теория чисел

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#132584

Дано простое число $p> 3.$ Натуральные числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a+ b= c+ d= p,

а число $abcd$ — точный квадрат. Докажите, что какие-то два из чисел $a,$ $b,$ $c$ и $d$ совпадают.

Показать доказательство

По условию $b=p − a,$ $d= p− c,$ без ограничения общности натуральные числа $a,c< p, 2$ тогда

2 abcd =a(p− a)c(p − c)= x,

где $x$ — некоторое целое число. Рассматривая по модулю $p:$

2 2 2 a(p− a)c(p− c)≡ a(−a)⋅c(−c)= ac ≡ x (mod p),

откуда $x ≡±ac (mod p),$ то есть $x= ±ac+ pk$ для некоторого целого $k.$ Тогда:

a(p− a)c(p− c)= (±ac+pk)2 = (ac± pk)2,

без ограничения общности можно считать

a(p− a)c(p− c)= (ac+ pk)2

Раскроем скобки:

ac(p2− p(a +c)+ ac)= a2c2+ 2acpk+ p2k2,

acp2− acp(a +c)+ a2c2 = a2c2+ 2acpk+ p2k2,

acp2− acp(a +c)= 2acpk+ p2k2.

Делим на $p:$

2 acp− ac(a +c)= 2ack+ pk ,

2 p(ac− k )= ac(a+ c+ 2k).

Поскольку $p$ простое и не делит $ac,$ то $p|(a+ c+2k).$ Оценим $k :$

(a+-p−-a)2 (p)2 (p )2 a(p − a)≤ 2 = 2 , c(p− c)≤ 2 ,

p4 p2 a(p− a)c(p − c)≤ 16, |ac+ pk|≤-4 ,

так как $2 0< ac< p4-$

− p <k < p. 2 4

Тогда:

− p< a+c +2k< 3p. 2

Так как $a+ c+ 2k$ делится на $p$ и лежит в $(−p,3p), 2$ возможны случаи:

a +c+ 2k= 0 (1) или a+ c+ 2k= p (2).

Случай (1): $a+ c+2k =0.$ Тогда:

p(ac− k2)= 0, ac= k2.

Из $a+ c= −2k:$

(a+ c)2 = 4k2 = 4ac =⇒ (a− c)2 =0 =⇒ a =c.

Следовательно, числа совпадают.

Случай (2): $a+ c+2k =p.$ Тогда:

2 2 p(ac− k )=ac⋅p =⇒ ac− k = ac =⇒ k= 0.

Тогда $a +c= p,$ что невозможно, так как $a+ c<p.$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse