Оценочная теория чисел

Пусть число состоит из цифры. Считаем далее, что меньшие числа не влияют на искомую ограниченность.

Для обозначим через число, получающееся удалением из -ой с конца цифры. Обозначим через количество точных квадратов в множестве Наша цель — доказать, что ограничено сверху.

Пусть где не кратно 10. Если нечётно, то число может быть точным квадратом только при так что в этом случае Если чётно, то заключительные нулей не влияют на дело, поэтому Поэтому далее считаем, что не кратно 10.

Выделим множество из номеров для которых — точный квадрат, причём натуральные числа попарно различимы.

Отметим следующее:

1) следовательно при всех

2)

3) кратно

Из свойства 1) следует, что для различных номеров из имеет место оценка

Сопоставляя это со свойством 2), получаем, что Таким образом, все элементы кроме, быть может, одного, больше, чем Обозначим (удалили из наименьший элемент), тогда и

Пусть — два элемента множества Тогда по свойствам 1), 2) имеем

С другой стороны, по свойству 3) число

кратно

Положим (где обозначает верхнюю целую часть). Хотя бы одно из чисел кратно и хотя бы одно кратно Кроме того, если нечётно, то нечётны числа поэтому одно из чисел не кратно другое, соответственно, кратно Иначе не кратно 5, и аналогичным образом получаем, что одно из чисел кратно

Рассмотрим пятиэлементное подмножество наименьший элемент обозначим а наибольший Обозначим Если нечётно, положим иначе положим Из доказанного следует, что элементы множества дают не более двух различных остатков по модулю и не более двух различных остатков по модулю Значит, в найдутся два различных элемента такие, что кратно Тогда по (1) получаем

откуда следует что Таким образом, если разбить отрезок на группы подряд идущих чисел, в каждой из которых отношение любых двух элементов меньше чем (количество таких групп меньше, например, миллиона), то любая из этих групп содержит не более 4 элементов множества Отсюда вытекает ограниченность числа