Оценочная теория чисел
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовем натуральное число хорошим, если оно делится на два последовательных нечетных натуральных числа, больших 
Докажите, что
для любого натурального 
среди чисел от 
до 
менее 
чисел являются хорошими.
Подсказка 1
Найдите способ перечислить все хорошие числа. Как можно оценить их количество?
Подсказа 2
Если число делится на два последовательных натуральных числа, то оно делится и на их произведение. Как можно оценить количество чисел кратных 3*5? k(k+2) при произвольном нечетном k?
Подсказка 3
Их количество не превосходит n/15 и n/k(k+2) соответственно. При каком k таких чисел уже не найдется?
Подсказка 4
При k больше, чем √n. Как теперь можно оценить общее количество хороших чисел?
Подсказка 5
Оно не больше, чем сумма n/{3*5}+n/{5*7}+...+n{l(l+2)}. Как можно преобразовать данную сумму?
Подсказка 6
Воспользуйтесь тем, что 1/{k(k+2)}=1/{2k}-1/{2k+4}, чтобы преобразовать данную сумму. Наконец, воспользуйтесь ограничениями на n, чтобы доказать, что это число менее n/5.
Заметим, что число, делящееся на два последовательных нечётных натуральных числа, делится также на их произведение. Поэтому
количество чисел от 
до 
делящихся на 
фиксированных нечётных числа 
и 
не превосходит 
Также заметим,
что число, не превосходящее 
может делиться на 
только в случае, когда 
Обозначим наибольшее нечетное число,
не превосходящее 
через 
то есть для него верно, что 
а также 
Тогда суммарное количество хороших чисел не
превосходит
Заметим, что
Тогда вся сумма равна
Легко видеть, что при 
откуда вся сумма меньше, чем 
что и требовалось
доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
