Оценочная теория чисел

1. Пусть существует -четверка при . Тогда (mod ). Получаем, что . Тогда либо , либо делится на . Тогда либо , . В первом случаем получаем, что . Во втором же . Получаем, что -четверки не существует.

Пусть существует -четверка при . Тогда (mod ). Получаем, что . Тогда либо , либо делится на . Тогда либо , (, поскольку ). В первом случаем получаем, что . Во втором же . Получаем, что -четверки тоже не существует.

2. Пусть , — две четверки, удовлетворяющие условиям с одним и тем же . Тогда (mod ), аналогично (mod ). Т.е. , кратны .

Предположим, что эти разности одновременно не равны нулю. Пусть не умаляя общности , тогда , т.е. и тем более . Отсюда получаем, что откуда (т.к. кратно ) получаем — противоречие.

Пусть теперь одна из исходных разностей равна нулю (не умаляя общности ). Отметим, что из равенств следует взаимная простота и , и . Поэтому из равенства следует, что и , а из него — . В силу взаимной простоты и имеем , . При это противоречит условию , при — условию . Значит , , — четверки полностью совпадают.

3. Пусть , — две четверки, удовлетворяющие условиям с и c соответственно. Тогда (mod ), аналогично (mod ). Т.е. , кратны .

Пусть , а значит , тогда, аналогично прошлому пункту, — противоречие с делимостью на . Значит и, аналогично , , . Тогда , поэтому из делимости и аналогично .

Предположим теперь, не умаляя общности, что — наибольшее из чисел. Вычитая из равное ему , получаем , откуда из взаимной простоты и получаем, что делится на — противоречие с тем, что , .

4. Рассмотрим на плоскости множество всех векторов с целыми координатами такими, что (mod ) или . Отметим, что это множество вместе с каждым вектором содержит также и . Рассмотрим в нашем множестве вектор с минимальной суммой координат. В силу замечания выше можно считать, что вектор , где , (на осях координат и на биссектрисах углов между ними такой вектор лежать не может, поскольку ), если (mod ), то переобозначим и . Предположим пока, что . Рассмотрим прямую с уравнением . Будем искать точку на этой прямой такую, что — тогда четверка и будет искомой. Заметим, что если , то .

Прямая где-то пересекает прямую . Пусть точка с целыми лежит выше прямой , а точка — (нестрого) ниже.

Во-первых, проверим, что . В самом деле, в противном случае . Из выбора вектора имеем . Если , то — противоречие. Если же , то — снова противоречие.

Итак, . Поскольку , имеем . Если , то и обе координаты вектора по модулю не больше, чем — это опять противоречит выбору . Значит, и . Теперь выберем наибольшее целое неотрицательное , при котором . Ясно, что это неотрицательное значение строго меньше, чем . Тогда вектор и есть искомый вектор. Действительно, все нужные неравенства уже установлены, осталось только исключить случай , но в таком случае из уравнения прямой получаем , , что невозможно в силу того, что , .

Наконец обратимся к случаю . В этом случае обозначим , и построим точно так же четверку со всеми нужными свойствами, но такую, что, наоборот (mod ). В этом случае, очевидно, будет -четверкой, что нам подходит.