Оценочная теория чисел

Предположим противное, пусть найдётся сколь угодно большое при котором выражение имеет только простые делители, меньшие При огромных выражение будет принимать огромные значения, а значит какое-то простое число, меньшее будет входить в разложение на простые в огромной степени. Заметим, что всего есть простых чисел, меньших а скобочек Поэтому всегда какие-то две скобочки имеют НОД, больший единицы. Понятно, что любые две скобки и имеют ограниченный НОД, не превосходящий по абсолютной величине. Из этого следует, что в разложение двух и более скобок не может входить одно и то же простое число в огромных степенях, ведь тогда НОД будет слишком большим. Однако, при огромных каждая скобка принимает огромное значение, а значит включает в себя один из простых множителей в огромной степени. Как известно, скобочек а простых чисел, меньших — значит какие-то две скобки включают одно и то же простое число в огромной степени, противоречие.