Оценочная теория чисел
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вася написал на доске числа от 
до 
Сперва он сосчитал количество выписанных чисел, представимых в виде суммы точного куба и
точной шестой степени. Затем он подсчитал количество выписанных точных квадратов. Какой из результатов оказался
больше?
Подсказка 1
Нам необходимо сравнить два количества некоторых объектов, обладающих определенным свойством. Естественным шагом будет найти одно из количеств явно, после чего сделать оценку через него на количество объектов другого типа (найти его часто бывает трудно, а вот оценить через другое число может получиться довольно просто). Что проще найти: количество чисел, которые являются полными квадратами или количество тех чисел, что представимы в виде точного куба и точной шестой степени?
Подсказка 2
Найдем количество точных квадратов среди чисел на доске. Несложно показать, что их число равно 10⁶. Как теперь можно оценить количество тех чисел, то представимы в виде точного куба и точной шестой степени?
Подсказка 3
Пусть число n представимо в виде суммы n=a³+b⁶ для некоторых натуральных a и b. Тогда количество чисел n явно не больше, чем количество различных пар (a, b) для которых число a³+b⁶ не превосходит 10¹². Как можно оценить количество таких пар?
Подсказка 4
Если a³+b⁶ не превосходит 10¹², то каждое из чисел a³ и b⁶ строго меньше 10¹². Тогда a имеет меньше 10⁴ возможных значений, b меньше 10², следовательно, количество таких пар меньше 10⁶.
Натуральное число 
такое, что 
тогда и только тогда, когда 
Таким образом, количество полных квадратов,
не превосходящих 
равно 
Докажем, что количество чисел на доске, представимых в виде суммы точного куба и точной шестой степени, меньше, чем 
Действительно, количество чисел 
на доске не превосходит количества пар натуральных чисел 
таких, что 
для
которых верно неравенство
Таким образом, для каждого из чисел верно, что
то есть
Тем самым мы показали, что количество пар 
меньше, чем 
Квадратов больше
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
