Оценочная теория чисел

Пусть Обозначим , где Тогда Тогда получаем дробь, которая является целым числом по условию:

Значит, Получаем, что, Заменим :

Так как Таким образом, равно 1, 2 или 3.

1)

Такое может быть только если числа равны 1 или -1. Тогда Но тогда — число будет ненатуральным. Противоречие.

2)

Рассмотрим левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно

Так как — целое число, — квадрат. Посмотрим на остатки при делении на 3 и на 9:

Если получаем, что и чего не может быть, так как если квадрат делится на 3, то он делится и на 9.

Если или получаем, что Квадрат не может давать остаток 2 при делении на 3.

Значит, такое равенство невозможно. Противоречие.

3)

Заметим, что тогда правая часть должна делиться на 3: делится на 3, тоже. Тогда тоже должно делиться на 3.

Если получаем, что что неверно.

Если получаем, что что неверно.

Если получаем, что что неверно.

Значит, такое равенство невозможно. Противоречие.

Таким образом, мы доказали, что таких не существует.