Оценочная теория чисел

Сотрём все числа, кратные 41 , а также числа от 1641 до 1680 — как раз 120 штук. Докажем, что из оставшихся чисел нельзя составить арифметическую прогрессию длины 41.

Действительно, если разность этой прогрессии не делится на 41, то в ней должно присутствовать число, кратное 41 . Пусть разность делится на 41. Если она равна 41, то прогрессия состоит из 41 последовательных чисел с некоторым фиксированным ненулевым остатком при делении на 41. Одно из чисел с таким остатком было стерто в ходе уничтожения отрезка от 1641 до 1680, поэтому все члены прогрессии либо одновременно меньше 1641, либо одновременно больше 1680. Но тогда разность ее крайних членов должна быть меньше 1640 , а она равна .

Может случиться, что разность прогрессии равна 82. Но тогда её первый член не больше 20 , ибо иначе её 41 -ый член больше, чем . Однако, как легко видеть, в этом случае её 21 -ый член попадёт в выброшенный отрезок от 1641 до 1680.

Наконец, если разность прогрессии делится на 41 и больше 82 , то разность крайних членов будет не меньше , что невозможно.