Запас хода
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня,
потом первый может забрать 1,2 или 3 камня, затем второй 
или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний
камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Источники:
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на то, какое количество камней всегда может набрать первый игрок, после хода второго. Что можно заметить?
Подсказка 2
Первым ходом первый игрок всегда забирает ровно один камень, поэтому тут не очень интересно. А вот дальше второй игрок забирает один или два камня, а первый от 1 до 3 камней. Какое число камней можно набрать после хода второго и первого вместе?
Подсказка 3
Ровно 3 камня, на следующем ходе 5 камней, дальше 7 и так далее. То есть после хода первого получаются последовательные нечётные числа. А разность чего равняется последовательным нечётным числам?
Подсказка 4
Разность квадратов — это нечётное число. Поэтому, так как первым ходом первый игрок забирает 1 камень, то есть квадрат. А это значит, что после каждого его хода забирается такое количество камней, которое равно квадрату натурального числа!
Докажем, что для любого натурального 
первый игрок на своём 
-ом ходе может добиться, чтобы количество забранных из кучки
камней равнялось 
, и второй игрок не сможет ему помешать. Доказательство проведём индуктивно.
В свой первый ход первый игрок забирает один камень, т. е. число забранных камней равно 
. Пусть в свой 
-й ход первому игроку
удалось сделать так, чтобы количество забранных камней равнялось 
. В свой 
-й ход второй игрок может взять от 
до 
камней.
Поскольку 
после его хода общее количество забранных камней будет больше 
и меньше 
. Первый игрок
в свой следующий ход может взять от 
до 
камня и точно сможет получить 
забранных камней независимо от
предыдущего хода второго игрока.
Таким образом, поскольку 
, побеждает первый игрок: ему достаточно каждый раз забирать такое число камней, чтобы общее
число забранных камней было точным квадратом, и на своём 
ходе он возьмёт последний камень.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
