Идеи метода Штурма
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
, 
, 
Докажите неравенство
Подсказка 1.
Хочется как-то подвигать переменные, при этом увеличивая левую часть неравенства.
Подсказка 2.
Зафиксируйте a+b (a≥b) и увеличивайте a. Как при этом изменяются множители в левой части?
Подсказка 3.
Первая скобка не изменяется, а вот во второй скобке два слагаемых увеличиваются, а одно уменьшается. Как можно справиться с последним?
Подсказка 4.
Как изменяется сумма слагаемых 1/(1+bc) + 1/(1+ac)?
Подсказка 5.
Теперь левая часть увеличивается, и мы можем начать загонять переменные по краям. Как будет выглядеть неравенство в крайнем случае?
Подсказка 6.
Получим, что или две переменные равны 0, или две переменные равны 1, или одна – 0, а другая – 1. Разберите эти случаи.
Сведём задачу к случаю, когда хотя бы две из переменных равны 0 или 1.
Предположим, что среди переменных 
есть хотя бы две, не равные 0 и 1. Пусть эти переменные — это 
и 
и 
Зафиксируем 
и будем увеличивать 
тогда 
уменьшается (по неравенству о средних), 
увеличивается.
Выражение
тоже увеличивается (так как 
не изменяется, то числитель не меняется, а знаменатель уменьшается).
Тогда левая часть неравенства увеличивается, вплоть до того, как одна из переменных не станет 0 или 1. Таким соображением мы можем
добиться того, что одна из переменных 
и 
станет равной 
или 
Если при этом ни одна из переменных 
и 
не равна 1 или 0, то,
применив такое же соображение, мы сможем добиться того, что левая часть увеличиться, и одна из переменных 
или 
станет
равной 1 или 0. Таким образом, можно считать, что какие-то две из переменных равны 0 или 1. Остается разобрать три
случая.
1. Не умаляя общности, 
тогда требуется доказать:
Это верно по условию 
2. Не умаляя общности, 
тогда требуется доказать:
Это верно по условию 
3. Не умаляя общности, 
тогда требуется доказать:
Это верно по условию 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
