Идеи метода Штурма
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение чисел 
не меньших 
составляет 
Найдите наибольшее значение выражения
Источники:
Подсказка 1
При виде выражение в виде суммы логарифмов, да и ещё с такими основаниями, сразу хочется его видоизменить. Обычно всегда на помощь приходит замена, но пока неясно, что стоит обозначить за новые переменные. Вспомните формулу перехода и свойства логарифмов и попробуйте перейти к другим основаниям!
Подсказка 2
То, что произведение a, b, c, d — это степень двойки, и то, что каждая из переменных не меньше 2, намекает, что хотелось бы использовать 2 в искомом выражении. Поэтому попробуйте сделать замену вида х = log₂a, ...
Подсказка 3
Полученное выражение — сумма дробей — уже лучше логарифмов. Но как же теперь её оценить? Обратите внимание, что изначальное условие на произведение переменных превратилось в условие на сумму переменных из замены. Какой метод в неравенствах есть, когда фиксирована сумма переменных?
Подсказка 4
Метод Штурма! Часто смотрят на то, когда выражение больше: когда переменные равны или когда одна переменная принимает максимально возможное значение, а другая минимальное. Попробуйте это выяснить на примере двух переменных.
После замены
условие, что исходные числа не меньше 
превращается в
а условие на произведение превращается в
Искомое выражение по формуле перехода и свойствам логарифмов равно
Воспользуемся методом Штурма. Пусть имеется какое-то значение искомого выражения при удовлетворяющих условиям выше
(не умаляя общности, переменные можно переименовать для упорядочивания). Заменим два числа 
на числа
с такой же суммой 
и не меньшей разностью 
Тогда в
искомом выражении сумма дробей
не изменится, а сумма дробей
и аналогичная ей (с точностью до перестановки 
) сумма дробей
не уменьшатся, так как после приведения к общему знаменателю у получившейся дроби числитель увеличивается при увеличении
а знаменатель уменьшается при увеличении 
Такими преобразованиями можно превратить три наименьших числа из 
в единицу, а наибольшее — в 
при
этом наше выражение будет увеличиваться (точнее, заведомо не уменьшаться). Итак, максимальное значение выражения
равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
