Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Определим нечетное (соответственно, четное) представление как представление в виде суммы нечетного (соответственно, четного) числа различных элементов .

Предположим, что существует только конечное число натуральных чисел, которые не являются чистыми. Следовательно, существует такое натуральное число что каждое целое число имеет ровно одно нечетное представление. Очевидно, что бесконечно. Теперь мы утверждаем, что нечетное и четное представления обладают следующими свойствами.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойство 1. Любое положительное целое число имеет не более одного нечетного и не более одного четного представления.

Доказательство. Сначала мы покажем, что каждое целое число имеет не более одного четного представления. Поскольку бесконечно, существует такое, что Тогда число должно быть чистым, и не должно фигурировать ни в одном четном представлении Если имеет более одного четного представления, то мы получаем два различных нечетных представления добавляя к четным представлениям что невозможно. Следовательно, может иметь не более одного четного представления. Аналогично, существуют два различных элемента таких что Если имеет более одного нечетного представления, то мы получаем два различных нечетных представления добавляя и к нечетным представлениям Это снова противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойство 2. Зафиксируем Предположим, что число не имеет четного представления. Тогда имеет четное представление, содержащее для всех целых чисел

Доказательство. Достаточно доказать следующее утверждение: если не имеет четного представления без то имеет четное представление, содержащее (и, следовательно, не имеет четного представления без по свойству Заметим, что нечетное представление не содержит в противном случае мы получим четное представление без Затем, добавив к этому нечетному представлению мы получим, что имеет четное представление, содержащее как и требовалось.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойство 3. Каждое достаточно большое целое число имеет четное представление.

Доказательство. Зафиксируем любой и пусть — произвольный элемент в Тогда из свойства следует, что множество содержит не более одного числа, превышающего и не имеющего четного представления. Следовательно, содержит конечное число натуральных чисел без четного представления, как и

Учитывая свойства и , мы можем предположить, что выбрано таким образом, что каждое имеет ровно одно нечетное и ровно одно четное представление. В частности, каждый элемент имеет четное представление.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Свойство 4. Для любых с четное представление содержит

Доказательство. Предположим противное. Тогда имеет, по крайней мере, два нечетных представления: одно, полученное добавлением к четному представлению и другое, полученное добавлением к четному представлению Поскольку последнее не содержит эти два нечетных представления различны, что приводит к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть — все элементы и зададим для каждого неотрицательного целого числа Зафиксируем целое число таким образом, что Тогда из свойства следует, что для каждого четное представление содержит все числа Следовательно,

где — сумма некоторых значений В частности,

Пусть — целое число, удовлетворяющее и Тогда показывает, что для каждого

Далее, пусть — такой индекс, что Затем,

Таким образом, в нет элемента, большего, чем но меньшего, чем Отсюда следует, что четное представление для не содержит ни одного элемента, большего, чем С другой стороны, неравенство приводит к поэтому должно содержать слагаемое, большее, чем Таким образом, оно должно содержать После удаления из мы получаем, что имеет нечетное представление, не содержащее что противоречит свойству поскольку само также формирует нечетное представление