Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Рассмотрим раскраску где цвет пары кодирует множество цветов с учетом их позиций в раскраске чисел То есть, если можно перенумеровать цвета, не изменяя порядка, чтобы раскраски совпали, то мы им присвоим один цвет (например, раскраскам трех чисел в цвета и мы присвоим один цвет). Тогда количество цветов в нашей раскраске плоскости конечно, их просто не больше, чем раскрасок чисел в цветов.

Согласно многомерной теореме Ван дер Вардена, для любой конечной раскраски плоскости существует одноцветный гомотетичный образ квадрата. Тогда имеем одноцветный квадрат со стороной в раскраске Это означает, что все прогрессии вида: имеют одинаковый цвет в

Это означает, что для любых последовательность:

подчиняется одному и тому же правилу одинаковости цветов. Поймём, что это для нас означает. Если в этой раскраске все цвета различны, то мы уже нашли прогрессию, в которой все цвета попарно различны. Тогда какие-то две позиции должны быть одноцветными. Пусть их номера Тогда рассмотрим прогрессию (первый элемент пары означает начальный член, второй — шаг). Её ый элемент имеет вид Будем строить подходящий пример, опираясь на это число. Пусть оно красного цвета. Рассмотрим прогрессии

Все эти прогрессии одного цвета по построению (действительно, они лежат в квадрате, ведь и их шаг относительно угла квадрата действительно делится на также во всех них ый член — это Тогда рассмотрим их ые члены. Они будут иметь вид

То есть они образуют арифметическую прогрессию с шагом Причём все эти числа тоже красные, ведь есть прогрессии из нашего квадрата, в которых эти числа ый член, а — ый член.

Рассмотрим какой-нибудь пример для понимания. Пусть у нас одного цвета первое и второе число в прогрессиях. Тогда рассмотрим как базовое число Тогда оно на втором месте в прогрессиях, где первый член Эти первые члены образуют арифметическую прогерссию с шагом их как раз штук, они все того же цвета, что и

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Мы сумели обобщить теорему Ван дер Вардена на случай, в котором у нас бесконечное число цветов.