Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Запишем в клетки доски положительные целые числа так: число записано в каждой клетке й диагонали, параллельной главной диагонали, идущей слева сверху вправо вниз (ниже приведен пример для доски

Сопоставим каждой конфигурации фишек целочисленную величину которая равна сумме чисел в клетках, занятых фишками. Тогда не меняется при действиях Гоши. Пусть последовательность быстро растет как функция от например, Покажем, что в этом случае строго увеличивается с каждым действием Саши.

Пусть Саша выбрал прямоугольник, у которого левая верхняя и правая нижняя клетки имели числа и Заметим, что в нашей расстановке для всякого числа числа, находящиеся строго ниже и левее него, имеют большие номера. Поэтому после хода Саши числа изменятся с и на и , где — высота выбранного прямоугольника, измеренная в клетках Тогда

Значит, станет строго больше. При этом все время остается целочисленным. Так как ограничено сверху (как минимум, оно меньше, чем игра не может продолжаться бесконечно.