Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Занумеруем все арифметические прогрессии натуральных чисел. Любая такая прогрессия однозначно задаётся парой где — первый член, — разность. Разобьём пары на группы с постоянной суммой и внутри каждой группы пронумеруем по возрастанию

Обозначим через прогрессию с номером в этой нумерации.

Построим множество выбирая по одному элементу из каждой так, чтобы Это возможно, потому что каждая бесконечна: выбрав берём достаточно большим.

1) Покажем, что не содержит трёхчленной арифметической прогрессии. Предположим противное: существуют такие, что образуют прогрессию, то есть Но из и условия получаем следовательно С другой стороны, Значит,

— противоречие.

2) Покажем, что дополнение не содержит ни одной бесконечной арифметической прогрессии. Действительно, каждая прогрессия из нашей нумерации равна некоторому и, по построению, содержит элемент Следовательно, ни одна прогрессия не лежит целиком в

Тогда мы смогли построить нужное нам разбиение.