Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Первое решение. Возьмём натуральный ряд и разделим его на группы по чисел вида (в таком порядке), — целое неотрицательное. Заметим, что внутри группы суммы всех соседних составные: Все эти числа либо кратны и больше либо кратны и больше Расположим эти группы в порядке возрастания Тогда число соседствует с Их сумма равна то есть она кратна а значит тоже составная.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Приведём алгоритм перестановки: начнём расставлять последовательные нечётные числа до тех пор, пока не появится такое нечётное число которое в сумме с даёт составное число. Далее расставляем подряд идущие чётные числа начиная с до тех пор, пока не появится такое чётное число которое в сумме с даёт составное. Далее пишем нечётные числа, начиная с и т.д. Начало перестановки выглядит так:

Почему этот алгоритм никогда не прекратится? Предположим, что когда-то мы не сможем его продолжить.

случай: мы выписываем нечётные числа и ожидаем, пока появится число, дающее в сумме с числом составное. Почему когда-нибудь такое число точно появится? Рассмотрим числа Нетрудно понять, что одно из них делится на и больше то есть является составным. Значит уже после одного из чисел мы сможем поставить и продолжить выписывать чётные числа. Случай, когда мы выписываем последовательно чётные числа и ищем возможность поставить нечётное, рассматривается аналогично.

Таким образом этот процесс мы сможем продолжать бесконечно и всякое натуральное число рано или поздно будет использовано, что и требовалось.