Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Предположим, что есть такой сектор в котором фишка побывает конечное количество раз (меньше миллиона). Рассмотрим сектор который стоит перед Ясно, что в лишь конечное количество раз может находиться число, дающее остаток при делении на В противном случае мы бесконечное число раз попадём из в что невозможно по предположению.

Заметим, что числа в секторах увеличиваются на единицу. Поэтому если сейчас в ячейке находится число с остатком при делении на то перед появлением в ней следующего числа с остатком при делении на в ней появятся числа с остатками при делении на Следовательно, если в ячейке конечное количество раз возникает число с остатком при делении на то в ней конечное количество раз возникнут числа со всеми другими остатками при делении на Таким образом, число в также всегда ограничено. Но тогда по аналогичным рассуждениям можно доказать, что число в секторе, находящемся перед также всегда ограничено. Так мы сможем постепенно доказать это утверждение про все секторы. Получается, что во всех секторах числа ограничены, а значит фишка сделает конечное количество ходов, это противоречие. То есть такого сектора не существует.