Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных целыми числами по
порядку. В комнатах живут 
пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов); кроме того, в каждой
комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах 
-той и (
)-ой,
приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (
)-ую и (
)-ую комнаты
(пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают). Докажите, что через конечное число дней эти переселения
прекратятся.
Идейно довольно понятно: распределение пианистов становится все более “разреженным”. Когда оно станет совсем "разреженным переселения должны прекратиться, потому что соседствующих пианистов не останется. Нужно только придать этим рассуждениям строгости.
Рассмотрим произвольные три подряд идущие комнаты (с номерами 
). Если в одной из них когда-нибудь окажется
пианист, то эта тройка комнат уже никогда не опустеет: чтобы покинуть эту тройку, пианист должен переселиться из 
-й комнаты в
-ю (или из 
-й в 
-ю, что рассматривается аналогично), но тогда кто-то переселяется из 
-й в
-ю, и на этом шаге рассматриваемая тройка комнат непуста. Разобьём весь коридор на тройки (например, тройки
вида 
для целых 
). Количество “занятых” троек не превосходит количества пианистов, то есть
и “занятые” тройки не освобождаются, следовательно, пианисты никогда не покидают некоторую ограниченную
часть коридора. С другой стороны, сумма квадратов номеров комнат, в которых живут пианисты (с учетом кратности) при
каждом переселении возрастает, поскольку 
Но в силу ограниченности той части коридора,
где находятся пианисты, сумма квадратов номеров не может возрастать бесконечно. Значит, когда-нибудь переселения
прекратятся.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
