Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Предположим, что можно. Возьмём какой-нибудь квадрат на Ясно, что все выкинутые клетки одного цвета (пусть чёрного). Также понятно, что внутри квадрата не меньше выкинутых клеток (вдоль стороны точно поместится клеток).

Рано или поздно конь по нашему предположению должен обойти этот квадрат. Не факт, что он будет ходить только по нему, но должен обойти. Назовём цепочкой следующий набор последовательных ходов: конь входит в квадрат, делает несколько ходов и выходит из него. Ясно, что конь обойдёт весь квадрат по некоторым цепочкам. Заметим, что если цепочка начинается с чёрной клетки, то тогда суммарно в цепочке чёрных клеток не меньше, чем белых. Если цепочка начинается с белой клетки и заканчивается чёрной, то в неё поровну чёрных и белых клеток.

Рассмотрим теперь цепочки, которые начинаются и заканчиваются белой клеткой, в них на одну белую клетку больше. Лишь за счёт этих цепочек конь может обойти в квадрате больше белых клеток, чем чёрных (это необходимо, поскольку часть чёрных клеток выкинули). Однако заметим, что в каждую такую цепочку конь входит из чёрной клетки двухклеточной каёмки квадрата. Аналогично выходит из этой цепочки конь в чёрную клетку двухклеточной каёмки. То есть количество таких цепочек не превосходит количества чёрных клеток в двухклеточной каёмке, которое равно (для удобства возьмём чётное ). То есть посредством этих цепочек получится пройти максимум на больше белых клеток, чем чёрных, однако разница между ними не меньше Понятно, что при выборе достаточно большого величина будет меньше что, в свою очередь, меньше Пришли к противоречию.