Бесконечные конструкции (игры, клетки, множества)

Пусть мы смогли построить конечную последовательность такую, что:

Все попарные разности между членами этой последовательности различны.

Числа можно представить в виде разности двух её членов.

Число нельзя представить в виде разности двух её членов.

Пусть максимальный член этой последовательности равен Добавим в последовательность числа и Любое число из является разностью каких-то двух чисел из прежней последовательности, тогда откуда ясно, что никакая из разностей чисел или и какого-то ранее выписанного числа в последовательности не может равняться какому-либо числу из при этом разность, равную мы получили. Аналогичными рассуждениями мы сможем строить последовательность сколь угодно долго, что и требовалось.