Взвешивания и количество информации
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На игрушечной кольцевой автостраде в некоторых местах стоят одинаковые машинки. В какой-то момент времени они все начинают ехать с одинаковой скоростью, часть — по часовой стрелке, часть — против. Если две машинки оказываются в одной точке, то каждая из них резко разворачивается и начинает ехать с той же скоростью, но в противоположном направлении. Ни в какой момент времени не встречаются более двух машинок. Докажите, что через некоторое время все машинки одновременно окажутся на местах, откуда они начинали свое движение.
Подсказка 1
Пусть у каждой машинки будет свой номер. Представим, что машинки не разворачиваются при столкновении, а проходят друг через друга без изменения направления. Но тогда мы не будем учитывать, что какие-то две машинки должны были развернуться. А что можно сделать вместо разворота, чтобы это учесть?
Подсказка 2
Верно! Достаточно поменять номера машинок местами! Теперь наши машинки никуда не разворачиваются, а просто едут по автостраде. Ясно, что достаточно сделать так, чтобы машинки оказались с исходными номерами. А как можно этого добиться?
Подсказка 3
Конечно! За k!+1 прохождение автострады найдутся две одинаковых перестановки номеров машинок, если изначально машинок было k. Однако эта перестановка номеров могла быть не изначальной. Что тогда нужно сделать, чтобы какая-то перестановка номеров встретилась дважды, при этом первый раз в начале?
При столкновении двух машинок их разворот эквивалентен тому, что они проходят друг через друга без изменения направления. Таким образом, столкновения не изменяют общую динамику системы, а лишь меняют “метки” машинок. Будем считать, что у машинок есть номера, а при столкновении происходит перестановка номеров двух машинок.
За время прохождения автострады машинки вернутся в начальные позиции, но с другими номерами. Заметим, что если у нас 
машинок, то всего 
перестановок, тогда за 
прохождение автострады найдутся две одинаковые перестановки 
Заметим, что все столкновения на каждом прохождении трассы происходят одинаково с точностью до номеров машинок,
то есть зависят только от номеров, которыми машинки меняются. Тогда просто заменим изначальные номера машинок
на перестановку 
тогда в какой-то момент машинки вернутся с такой же перестановкой номеров, что и требовалось
показать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
