Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на Звезде

Тема Звезда (только часть с задачами по математике)

Тригонометрия на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только часть с задачами по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74590

Решите систему уравнений

{ sin3x+ sin4y = 1, 3 5 cos x+ cos y = 1.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Сложим два уравнения системы, тем самым получим новое уравнение, являющееся следствием системы.

3 4 3 5 sin x+ sin y+ cos x+ cos y = 2

Воспользуемся ОТТ:

3 4 3 5 2 2 2 2 sin x +sin y +cosx +cos y = sin x+cos x+ sin y+ cos y

sin2x(sinx − 1)+ cos2x(cosx− 1)+sin2y(sin2y− 1)+cos2y(cos2y− 1)= 0

Квадраты неотрицательные, а все скобочки $≤ 0,$ тогда, чтобы сумма была = 0, каждое слагаемое должно быть равно 0. Имеем систему:

( ||| sin2 x(sinx − 1)= 0 |{ cos2x(cosx− 1)= 0 ||| sin2 y(sin2y− 1)= 0 |( cos2y(cos2y − 1)= 0

Решим для $x :$

Из первого уравнения возможны 2 случая:

1) $sinx= 0.$ Тогда из второго $cosx= 1 =⇒ x= 2πk,k∈ ℤ$

2) $sinx= 1.$ Тогда $cosx= 0 =⇒ x = π+ 2πn,n ∈ℤ 2$

Решим для $y :$

1) $siny = 0,$ тогда $2 cos y = 1 =⇒ cosy = ±1 =⇒ y = πm,m ∈ℤ$

2) $2 sin y = 1 =⇒ sin y = ±1,$ тогда $π cosy = 0,y = 2 + πt,t∈ ℤ$

И так как мы изначально получили следствие из исходной системы, надо не забыть проверить, какие серии корней подходят, а какие нет, подставив в изначальную систему все комбинации возможных значений $sinx,cosx,siny,cosy.$

Подходят следующие варианты:

1) $π x= 2πk,y = 2 +2πt,$ $k,t∈ ℤ$

2) $π x= 2 + 2πn,y =2πm,$ $n,m ∈ ℤ$

Ответ:

$(2πk,π+ 2πt),(π +2πn,2πm),k,n,m,t∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#95855

Найдите наименьшее натуральное значение $n$ , удовлетворяющее уравнению

∘ ∘ sinn =sin(2021n)

Источники: Звезда - 2021, 11.1 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

По формуле разности синусов уравнение равносильно совокупности

[ sin(2021n−n)∘ = 0 cos(20212n+n)∘ = 0 2

[ (1010n)∘ = 180∘⋅k,k∈ ℤ (1011n)∘ =90∘+ 180∘⋅m,m ∈ ℤ

[ 101n= 18k,k ∈ℤ 337n= 30(2m + 1),m ∈ℤ

Так как $101$ и $337$ — простые числа, то в первом уравнении наименьшее натуральное $n = 18,$ а во втором — $n= 30.$

Ответ:

$18$