Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Любочка могла записать уравнение с целыми ненулевыми коэффициентами

которое не имеет корней, поскольку

При этом можно как дописать старший коэффициент -2:

так и дописать коэффициент -6:

причём в обеих случаях получатся подходящие заданные учителем уравнения. Поэтому однозначно восстановить начальное уравнение Любочка уже не может.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, как можно составлять такие примеры, хотя это необязательно прописывать в решении на олимпиаде.

Пусть верное задание имело вид . Попробуем подобрать и так, чтобы полученное уравнение имело целые корни более, чем при одном значении .

По теореме Виета . Исключим неизвестное из этой системы, поделив первое уравнение на второе. Это можно сделать, так как не равно 0 . Получаем равенство

Значит, надо подобрать две пары целых чисел ( ), для которых суммы обратных величин совпадают.

При этом надо учесть, что уравнение не имеет корней. Это значит, что все значения левой части положительны и, в частности, значение при : .

Имеем

При или эта сумма равна нулю, в то время как первое слагаемое положительно. Значит, . В силу того, что целое, а уравнение — квадратное, . Итак, с должно быть положительным, при этом — отрицательным. Из соотношения следует, что корни имеют разный знак.

Например,

Подставляя пары корней и в теорему Виета, получим, что

Следовательно,