Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Предположим, что такие и существуют. Тогда:

1) если , то кратно

2) если , то кратно 3 ;

3) при , то кратно 3 .

Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ.

Из 1), 2) и 3) следует, что кратно 3, что невозможно ни при каких целых значениях

Второй способ.

Из 2) и 3) следует, что кратно 3, что невозможно, так как кратно

Замечание.

Можно также рассматривать не конкретные значения , а возможные остатки от деления на 3, проведя, например, такое рассуждение: если делится на 3, то значение трехчлена кратно трем только в том случае, когда q делится на 3. Если же х не делится на 3, то, учитывая, что должно делиться на 3, на 3 должно делиться и Но число фиксировано, а число х может при делении на 3 давать различные остатки (1 или 2), поэтому найдется значение х, для которого на 3 не делится.

Отметим также, что из второго способа решения видно, что в условии задачи можно заменить 3 на любое натуральное число, большее трех.