Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли такие целые числа 
и 
, что при любых целых значениях 
выражение 
кратно 
Источники:
Подсказка 1
Нам не так важен сам х, как его остаток при делении на 3. Потому что если два разных икса имеют одинаковый остаток при делении на 3 и многочлен от первого икса делится на 3, то и многочлен от второго также будет делится на 3. Значит, можно посмотреть на многочлен только от остатков по модулю 3. Сделайте это и попробуйте предположить то, о чем говорится в условии.
Подсказка 2
Если рассмотреть наш многочлен по модулю 3, то выходит три условия: p + q + 1 , - p + q + 1, q кратны трем. Но тогда сумма первых двух тоже кратна 3, хотя с другой стороны ее остаток по модулю 3 равен 2, так как q кратно 3.
Предположим, что такие 
и 
существуют. Тогда:
1) если 
, то 
кратно 
2) если 
, то 
кратно 3 ;
3) при 
, то 
кратно 3 .
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Из 1), 2) и 3) следует, что 
кратно 3, что невозможно ни при каких целых значениях
Второй способ.
Из 2) и 3) следует, что 
кратно 3, что невозможно, так как 
кратно 
Замечание.
Можно также рассматривать не конкретные значения 
, а возможные остатки от деления 
на 3, проведя, например, такое
рассуждение: если 
делится на 3, то значение трехчлена кратно трем только в том случае, когда q делится на 3. Если же х не делится
на 3, то, учитывая, что должно делиться на 3, на 3 должно делиться и 
Но число 
фиксировано, а число х
может при делении на 3 давать различные остатки (1 или 2), поэтому найдется значение х, для которого 
на 3 не
делится.
Отметим также, что из второго способа решения видно, что в условии задачи можно заменить 3 на любое натуральное число, большее трех.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
