Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли квадратные трёхчлены 
и 
с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет
по два целых корня?
Источники:
Подсказка 1
Для начала давайте подумаем, что у нас есть в наличии. Во-первых, у нас есть факт, что все корни целые, во вторых, что все переменные a, b, c - целые. На какую тогда теорему нас могут натолкнуть эти два факта?
Подсказка 2
Верно, на теорему Виета! Ведь, так как корни целые, то и все коэффициенты приведенных квадратных трехчленов(то есть, когда мы поделим на главный коэффициент) должны быть целыми. А что это нам может дать?
Подсказка 3
А это дает, что числитель делится на знаменатель. Однако в этот момент надо остановиться и не выписывать все делимости, а подумать, можем ли мы обойтись каким-то более маленьким фактом, который следует из делимости? А если рассмотреть несколько случаев вида а - четный/нечетный? Как от четности а зависят четности других переменных? Подумайте над этим, и задача решится сама!
Если каждый трёхчлен имеет целые корни, то каждое из выражений 
, 
, 
и 
должно быть целым, так как каждое из них
выражается через соответствующие целые корни по теореме Виета.
Пусть 
— нечётное, тогда 
чётно, равно как и 
и 
. Следовательно, 
и 
нечётные. В этом случае видно, что если 
чётный, то 
нечётно, а значит, не может равняться 
. Если же 
нечётный, то 
также нечётно, пришли к
противоречию.
Если 
— чётное, то мы придём к такому же противоречию, только со вторым трёхчленом.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
