Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Коэффициенты 
квадратного трёхчлена 
— натуральные числа, сумма которых равна 
Паша может
изменить любой коэффициент на 
заплатив 
рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один
целый корень, заплатив не более 
рублей.
Источники:
Подсказка 1
Во-первых, что мы можем делать, чтобы при каком-то условии точно был корень? Мы можем уменьшать c до 0, ведь тогда у нас будет корень 0. Но что, если c > 1050?
Подсказка 2
Тогда a + b <= 949. Что еще нам выгодно сделать? Коль скоро мы уже зануляли последний коэффициент, то надо пробовать занулить средний (ведь в дискриминанте первый и последний почти никак не отличаются, так как они равноправны). Что мы вообще хотим, если предполагаем занулять средний? Мы хотим, чтобы -4ac было квадратом, значит, a < 0. Ну и поскольку а никак не зависит от с, не считая суммы, то стоит попробовать взять а = -1, и тогда останется только сделать c - точным квадратом. Почему все это можно реализовать за 1050 действий?
Подсказка 3
Верно, чтобы сделать a = -1, b = 0 надо не более 950 действий. У нас остается 100 действий, но при этом, понятно, что в силу того, что с < 2000, так как изначально числа натуральные, то расстояние до ближайшего квадрата точно не больше чем 45^2 - 44^2(чем больше квадрат, тем больше расстояние от него до следующего) = 89 < 100. Значит, 100 действий, чтобы довести до квадрата, хватит!!
Если 
то просто сделаем 
и получим корень 
Пусть теперь 
тогда 
Сделаем 
и 
на это уйдёт не более 
рублей. В нашем распоряжении осталось хотя бы 
рублей, покажем, что их достаточно, чтобы увеличить или
уменьшить 
до ближайшего квадрата. 
а значит оно располагается между квадратами, расстояние между которыми не
превосходит 
Таким образом, нам хватит 
рублей, чтобы сделать 
квадратом и получить трёхчлен 
который имеет целые корни, что и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
