Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами

Решение будет состоять из трёх шагов

Докажем следующую лемму. Лемма. Пусть при некоторых натуральных квадратный трёхчлен имеет целые корни. Тогда и делятся на

Доказательство. По теореме Виета и являются целыми числами. Лемма доказана.

Предположим, что натуральные числа (при некотором целом неотрицательном k) нужным образом расставлены в качестве коэффициентов данных квадратных трёхчленов Для определённости пусть Тогда откуда и т.д., Тогда из леммы следует, что минимальное из чисел не меньше, чем а максимальное (назовём его ) — не меньше, чем Но должно быть среди чисел Получаем Отсюда и, значит, Кроме того, откуда сразу следует, что при

Среди подряд идущих чисел менее чётных. С другой стороны, зная, что пробегают числа получим оценку снизу на количество чётных чисел среди всех коэффициентов. Заметим, что в каждой из троек хотя бы одно чётное число, иначе значение трёхчлена в любой целой точке будет нечётно, в частности, такой трёхчлен не может иметь целых корней. Если же чётно (количество соответствующих троек равно ), то и в силу леммы, тоже чётные, значит, в такой тройке все три коэффициента чётные. Итого Сравнивая верхнюю и нижнюю оценки, имеем откуда Противоречие.