Квадратные трёхчлены с целыми коэффициентами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На графике приведенного квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целочисленными координатами. Найти расстояние между этими точками, если известно, что оно выражается целым числом, а дискриминант квадратного трёхчлена равен 9.
Источники:
Пусть 
— эти точки, а 
— трёхчлен. Тогда справедливы равенства 
и 
.
Если вычесть из первого второе, то получим 
, то есть 
делится на 
(для удобства запишем
).
Квадрат расстояния равен
Поскольку множитель 
— квадрат, то и 
должен быть квадратом. Заметим, что квадраты целых чисел могут
отличаться на 
только если эти числа — 
и 
. Значит, 
, откуда 
. То есть абсциссы выбранных точек
симметричны относительно абсциссы вершины параболы.
Поскольку 
равен 9, то 
нечётное. Таким образом, абсцисса вершины параболы является полуцелым числом (рациональная
дробь со знаменателем 
), а значит, абсциссы 
и 
разной чётности, то есть расстояние — любое положительное нечётное
число.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
