Вероятностный метод (усреднение)

Приведем стратегию за мудрецов. Пусть мудрецы говорят “пас” до того момента, пока очередь не дойдет до первого мудреца, цвета шляп всех мудрецов перед которым имеют один и тот же цвет. Этот мудрец назовет цвет противоположный тому, шляпы которого надеты на всех предстоящий мудрецах. Каждый следующий вновь скажет “пас”.

Покажем, что такая стратегия приводит к успеху, если среди цветов всех надетых шляп есть различные.

Для этого достаточно показать, что мудрец, назвавший цвет, не ошибся. Это так, ведь иначе цвет его шляпы такой же и у всех стоящих перед ним, но тогда, поскольку не все шляпы имеют одинаковый цвет, найдется мудрец, стоявших до него и назвавший цвет своей шляпы раньше, что невозможно.

Поскольку все раздачи шляп равновероятны, мудрецы проигрывают с вероятностью

а значит, вероятность выиграть больше