Тема Иннополис (Innopolis Open)

Вероятности на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90004

Преследуя преступника, полицейский упустил его в одном из дворов. В этот двор был единственный вход, а также 3 подъезда, в любом из которых мог скрыться преступник. Известно, что

- если полицейский войдет в подъезд, в котором укрылся преступник, то гарантированно поймает его;

- если полицейский войдет в подъезд, где преступника нет, то с вероятностью $1 6$ тот убежит через выход из двора (и поймать его уже не удастся), с вероятностью $1 2$ преступник никуда не переместится, и с вероятностью $1 3$ спрячется в другом подъезде, где полицейского сейчас нет;

- не найдя преступника в подъезде, полицейский каждый раз выбирает другой подъезд для осмотра совершенно случайным образом.

С какой вероятностью полицейский поймает преступника? Перемещения между подъездами можно считать мгновенными.

Источники: Иннополис - 2024 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте упростим задачу: не будем держать всю информацию в голове и попробуем нарисовать граф, показывающий возможные случаи и их вероятности.

Подсказка 2

У нас получается бесконечный граф, но достаточно записать вероятности лишь нескольких первых ходов. Далее вероятности будут одинаковы: если полицейский не угадывает подъезд и преступник не сбегает, то вероятность не изменится. Мы можем составить уравнение.

Подсказка 3

Осталось только просуммировать вероятности, когда полицейский ловит преступника, и получить ответ.

Показать ответ и решение

С вероятностью $1 3$ полицейский поймает преступника в первом же подъезде, в который зайдёт, и с вероятностью $2 3$ преступника там не окажется, значит, с вероятностью $2 1 1 3 ⋅6 = 9$ преступник сбежит из двора (сразу после первого захода полицейского в подъезд), и с вероятностью $2 5 5 3 ⋅6 = 9$ преступник так или иначе окажется в одном из подъездов, где сейчас нет полицейского.

Построим дерево, отображающее все возможные (на рёбрах написаны соответствующие условные вероятности):

Оказавшись в точке $B$ полицейский будет иметь выбор из двух подъездов, и с равной вероятностью поймает преступника в любом из них, этим обусловлены вероятности $1 2$ поймать преступника и дать ему скрыться в другом подъезде. После чего преступник снова либо сбежит со двора с вероятностью $1 6,$ либо останется в подъезде, где нет полицейского.

Заметим, что вероятность поймать преступника в точке $B$ равна вероятности поймать преступника в точке $C,$ обозначим эту вероятность за $P.$ Тогда, учитывая все возможные события в точке $B,$ получим $1 5- P = 2 + 12 ⋅P,$ отсюда $6 P =7.$ Учитывая события из точки $A,$ вероятность поймать преступника $1 5 17 3 + 9 ⋅P =21.$

Ответ:

$17 21$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74911

Все марсиане делятся на одноглазых, двуглазых и трехглазых. Марсианин отдыхает только тогда, когда закрыт хотя бы один его глаз, причем каждую секунду каждый глаз может быть открыт с вероятностью 0.5 независимо от остальных.

Известно, что среди всех марсиан, у которых не меньше двух глаз, каждую секунду в среднем $80%$ отдыхают, а среди тех, у которых не больше двух глаз, каждую секунду отдыхают в среднем $2 3$ марсиан. Найдите долю двуглазых марсиан среди всех марсиан.

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны условия на количество отдыхающих в каждую секунду. А можем ли мы посчитать вероятность того, что марсианин отдыхает в данную секунду? Если получится, то можно составить уравнения на данные из условия!

Подсказка 2

Каждый марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью 1-(0.5)^k, где k - количество его глаз. Составим уравнения на данные условия и попробуем сделать какие-нибудь преобразования и выводы!

Подсказка 3

Составим систему и при её решении сделаем замену отношения количеств марсиан :) Таким образом мы сможем посчитать, чему отношение одноглазых к двуглазым и трехглазых к двуглазым! Теперь узнать долю двуглазых не составит труда)

Показать ответ и решение

Пусть $n k$ — количество марсиан, у которых $k$ глаз $(k= 1,2,3).$ Такой марсианин каждую секунду отдыхает с вероятностью $1− 0.5k,$ поскольку события "марсианин отдыхает"и "все глаза марсианина открыты"образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Сначала рассмотрим случай, когда $n2 ⁄= 0.$

Тогда вероятность того, что наугад выбранный марсианин, у которого не больше двух глаз, отдыхает, равна

2 (1− 0.5)n1+(1− 0.52)n2 n + 0.5n 3 = ------n1+-n2-------= 1− 0.5⋅-1n1+-n22

Аналогичная вероятность для марсиан, у которых не меньше двух глаз, равна

( ) ( ) 0.8= -1− 0.52-n2+-1−-0.53n3-= 1− 0.25 ⋅ n2+0.5n3 n2+ n3 n2+n3

Разделим числители и знаменатели полученных дробей на $n ⁄= 0 2$ и обозначим $x= n1,y = n3+-n2 n2 n2$ $($ тогда искомое отношение $n--+nn2+-n- 1 2 3$ преобразуется к виду $x-+1y+-1).$ Получим систему уравнений

( ( |{ 0.5x +0.25 = 1(x +1) |{ x= 0.5 1 6 |( 3 =⇒ |( 2 =⇒ x+-y+-1 = 13 0.125y+ 0.25= 0.2(y+1) y = 3

Теперь рассмотрим случай, когда $n2 = 0.$ Тогда доля отдыхающих марсиан среди тех, у кого не больше двух глаз, должна быть равна доле отдыхающих одноглазых марсиан, т.е. $0.5.$ Однако, согласно условию, эта доля равна $2 3 ⁄= 0.5$ — получили противоречие, значит, $n2 ⁄= 0.$

Ответ:

$-6 13$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел