Тема . Делимость и делители (множители)

Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела делимость и делители (множители)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75089

Даны натуральные числа 1≤ k≤ n.  Докажите, что k  является делителем суммы

 k−∑1    ( )
n   (−1)i n
  i=0     i
Показать доказательство

Преобразуем выражение:

 k∑−1    ()    k∑−1    ((    ) (    ))
n   (−1)in  = n  (−1)i  n− 1 + n − 1  =
 i=0     i    i=0        i      i− 1
              k∑−1   i(n − 1)  k∑−1   i(n− 1)
           = ni=0(−1)   i  + ni=1(− 1) i− 1 =
              k∑−1   (    )   k∑−2    (    )
           = n  (−1)in − 1 − n  (− 1)i n− 1 =
              i=0    (  i)    i=0      i
           = n(−1)k−1 n− 1 =
                   (nk)− 1
           = k(−1)k−1k

Теперь понятно, что сумма делится на k.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!