Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— натуральное число. Докажите, что
![n 0 0 [n∕2] 1 1 [(n−1)∕2] k k [(n−k)∕2] n n 0
C2n+1 = 2CnC n + 2C nCn−1 + ⋅⋅⋅+ 2 CnCn−k + ⋅⋅⋅+ 2 CnC0](/api/latex-service/v1/GetSession/139730/index-8d8113dba514d446d0209afc7cb32af0.svg)
(
— число способов выбрать 
предметов из 
без учёта порядка; ![[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/139730/index-877a837d716769a9d23c49763d33f733.svg)
— наибольшее целое число, не превосходящее
)
Выражение слева по определению равно количеству способов выбрать из 
человек 
без учета порядка. Покажем, что этому же
числу равна правая часть. Зафиксируем разбиение всех 
людей, кроме одного, на пары. Пусть ровно из 
пар мы выбрали по
одному человеку. Выбрать эти 
пар мы можем ровно 
способами, а в самих парах 
– способами выбрать по одному человеку из
пары.
Далее, нам осталось выбрать еще 
человек. Из остальных пар, в силу рассматриваемого случая, мы выбираем либо обоих людей,
либо ни одного. Поэтому из оставшихся пар надо выбрать ![[(n − k)∕2],](/api/latex-service/v1/GetSession/139731/index-e0e9279ca31dfcb9a25e91e06a9beecc.svg)
из которых мы выберем двух людей, а в случае нечетной разности
еще одним выбранным человеком будет тот, что остался без пары. Выбрать эти ![[(n− k)∕2]](/api/latex-service/v1/GetSession/139731/index-baaff2d769f56098ca927ba609928211.svg)
пар можно ![[(n−k)∕2]
Cn−k](/api/latex-service/v1/GetSession/139731/index-f2337bf6fe7c55db00887329391a42c5.svg)
способами, и это
завершает выбор 
человек в данном случае. Все найденные выше способы перемножаются и получается в точности слагаемое
![k k [(n−k)∕2]
2 CnCn−k](/api/latex-service/v1/GetSession/139731/index-bbf6efae1883ba0d21d3fa122592c18a.svg)
из суммы выше. Рассматривая все возможные 
от 0 до 
мы получаем в точности сумму из правой части
условия.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
