Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны натуральные 
такие, что 
Докажите, что
Подсказка 1
Ищем комбинаторный смысл. Что первое приходит в голову? А вот над объектом, который будем подсчитывать стоит подумать, всё-таки плюсы/минусы весьма непонятно.
Подсказка 2
Ага, вполне логично рассмотреть множество из n элементов (пусть уж они будут детьми), и будем в слагаемых слева выбирать группу и раздавать её участникам m различных шариков. Может есть идеи для объекта?
Подсказка 3
Подсчитать можно следующий объект: распределение шариков детям. Ясно, что любое распределение слева посчитано в нескольких слагаемых. Давайте посчитаем вклад данного распределения шариков в ответ.
Подсказка 4
Для этого можно зафиксировать детей, у которых окажутся шарики при данном распределении (это не все дети, поскольку m<n), и посмотреть на группы добираемые к ним.
Предположим, что у нас есть 
детей и 
разных шариков. И мы хотим эти шарики раздать детям (некоторые дети могут получить
больше одного шарика). В левой части в слагаемом 
мы сначала выбираем 
детей, которым будем давать шарики, а затем считаем
количество способов раздать выбранным 
детям эти шарики. То есть один способ раздачи шариков посчитан в нескольких слагаемых.
Зафиксируем произвольный способ раздачи шариков. Пусть в нем ровно у 
детей есть хотя бы один шарик. Тогда в
слагаемом 
этот способ посчитан 0 раз, если 
и 
раз, если 
(то есть мы к зафиксированным 
детям
добавляем еще 
). Таким образом, суммарно в левой части наш зафиксированный способ посчитан следующее число
раз.
Так как сумма 
по всем 
равна 
а сумма по всем четным 
числа 
равна 
То есть сумма по всем нечетным
чисел 
также равна 
Тогда знакопеременная сумма 
по всем 
равна 
То есть любой зафиксированный способ
посчитан в левой части 
раз. Значит, и все выражение в левой части равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
