Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов

Предположим, что у нас есть детей и разных шариков. И мы хотим эти шарики раздать детям (некоторые дети могут получить больше одного шарика). В левой части в слагаемом мы сначала выбираем детей, которым будем давать шарики, а затем считаем количество способов раздать выбранным детям эти шарики. То есть один способ раздачи шариков посчитан в нескольких слагаемых. Зафиксируем произвольный способ раздачи шариков. Пусть в нем ровно у детей есть хотя бы один шарик. Тогда в слагаемом этот способ посчитан 0 раз, если и раз, если (то есть мы к зафиксированным детям добавляем еще ). Таким образом, суммарно в левой части наш зафиксированный способ посчитан следующее число раз.

Так как сумма по всем равна а сумма по всем четным числа равна То есть сумма по всем нечетным чисел также равна Тогда знакопеременная сумма по всем равна То есть любой зафиксированный способ посчитан в левой части раз. Значит, и все выражение в левой части равно