Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для каждого натурального 
докажите, что
Подсказка 1
Ищем комбинаторный смысл, у деления на степень двойки он не сильно ясен, так что избавляемся от знаменателей.
Подсказка 2
Вот после домножения выглядит уже приличнее. Первым делом, конечно, хочется построить соответствие с всевозможными подмножествами 2n-элементного множества, но тут закопаться можно, что с левой частью совсем непонятно. Давайте добавим ещё элементик и попробуем считать какие-то более необычные объекты.
Подсказка 3
Получается мы хотим посчитать половину подмножеств, осталось выбрать, каким особым свойством будет обладать эта половина, чтобы потом построить соответствие со слагаемыми левой части.
Сразу домножим наше тождество на 
То есть будем доказывать, что
Предположим, что у нас в ряд стоят 
человек. И мы хотим выбрать из них хотя бы 
человека. Понятно, что каждому
такому выбору соответствует выбор, в котором меньше 
человека (просто выбрать тех, кого не выбрали в первом способе). Тогда всего
таких вариантов ровно 
Посчитаем требуемое количество способов по-другому. Посмотрим, где может
находиться 
-ый человек (считая слева направо). Пусть он находится на 
месте, где 
Тогда среди первых
человек у нас есть ровно 
способов выбрать 
человек. А среди оставшихся 
человек мы можем выбирать любых людей, то есть 
способов. Итого, если 
-ый по счету человек стоит на
-ом месте, то всего вариантов 
Сложив способы по всем 
получаем требуемое
равенство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
