Теоретико-числовые свойства биномиальных коэффициентов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите суммы:
а) 
б) 
Подсказка 1, пункт а
Заметим, что нашу сумму можно записать в виде (n * n - (n-1)n) + (n(n-1) - (n-2)(n-1)) + (n(n-2) - (n-3)(n-2)) + ... + n * 1. Можно ли разбить ее на две суммы, которые удобно считать?
Подсказка 2, пункт а
Верно! Сумму положительных слагаемых найти просто: вынесем n и появится арифметическая прогрессия. У остальных выносим минус. Тогда надо найти сумму внутри скобок. Можно ли ее телескопировать?
Подсказка 3, пункт а
Заметим, что 3k(k+1) = k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1). Как теперь найти нужную сумму?
Подсказка 1, пункт б
В таком виде, задачу решать неудобно. Но можно заметить, что если вынести за скобки k!, то каждое слагаемое можно выразить через числа сочетания. А как можно найти такую сумму?
Подсказка 2, пункт б
Совсем напрямую посчитать будет непросто, но можно пойти обходным путем: найти комбинаторную задачу, ответ на которую выражается получившейся скобкой, а затем посчитать ответ другим способом. Какая задача нам подойдет?
Подсказка 3, пункт б
Каждое слагаемое в скобке выражает ответ на задачу: выбрать k шаров среди первых k + i в ряде из n + k шаров, а затем еще k из последних n - i. А какую задачу тогда решает вся сумма в скобке?
Подсказка 4, пункт б
Конечно, эта скобка отвечает на вопрос: сколько есть способов вставить перегородку в ряд из n + k шаров так, чтобы слева и справа от нее было хотя бы по k шаров. Как можно посчитать это по-другому?
Подсказка 5, пункт б
Верно! Увеличим наш ряд до n + k + 1 шара. Тогда надо выбрать из него 2k + 1 шар и центральный заменить перегородкой. Каково это число способов?
(a) Заметим, что 
Тогда
Теперь заметим, что
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые с плюсом и с минусом. Тогда сумма слагаемых с плюсом равна
Сумма слагаемых с минусом равна
Тогда исходная сумма равна:
(b) Заметим, что
Поймем, какую комбинаторную задачу решает выражение в скобке. Для этого расположим в ряд 
шаров. 
— число
способов выбрать 
шаров из этого ряда так, что сначала выбраны 
шаров из первых 
а затем еще 
из оставшихся 
Таким образом, сумма в скобке — это число способов вставить перегородку в наш ряд так, что слева и справа от нее не менее 
шаров, а
затем выбрать по 
шаров с каждой стороны.
Эта задача эквивалентна тому, чтобы найти число способов в ряде из 
шара выбрать 
а затем средний заменить
перегородкой. Тогда сумма из скобки равна 
Таким образом, 
а) 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
