Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

(a) Нетрудно заметить, что делится на Теперь докажем, что делится на Пусть делится на некоторое простое то есть равно в Но тогда какой-то из многочленов равен в а значит, делится на то есть в рассматриваемой делимости на можно делимое и делитель сократить. Так мы сократим все простые числа, входящие в то есть делимость доказана. Если два числа друг на друга делятся, то они равны.

(b) Достаточно доказать, что мнонгочлен приводим над тогда и только тогда, когда он приводим над Понятно, что из приводимости над приводимость над автоматически следует. Теперь докажем обратное. Пусть где и — многочлены с рациональными коэффициентами. Пусть — НОК знаменателей — НОК знаменателей Тогда Пусть где и — целочисленные многочлены с единичным содержанием. Ясно, что делится на Значит, можно сократить на и получить приводимость над