Тема . Многочлены

Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела многочлены

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#138475

Теорема о линейном представлении НОДа для многочленов. Для любых многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ существуют такие многочлены $A(x)$ и $B(x),$ что

P(x)A (x)+ Q(x)B(x)= (P (x),Q(x)).

Показать доказательство

Применим алгоритм Евклида к $P (x)$ и $Q(x)$ . В процессе получаем последовательность делений

P(x)= Q (x)Q (x)+ R (x), Q(x)= Q1(x)R (x)+R1(x), 2 .1 2 .. Rk−2(x)= Qk(x)Rk−1(x)+Rk (x), Rk−1(x)= Qk+1(x)Rk(x).

Теперь обратной подстановкой выражаем каждый остаток через $P(x)$ и $Q(x)$ . Из первого шага:

R1(x)= P(x)− Q1(x)Q(x).

Из второго:

R2(x)= Q(x)− Q2(x)R1(x),

и, подставляя выражение для $R1(x),$ получаем

R2(x)= U2(x)P(x)+V2(x)Q (x).

Далее аналогично: если

Rj(x)= Uj(x)P(x)+ Vj(x)Q(x); Rj−1(x)= Uj−1(x)P(x)+ Vj−1(x)Q(x),

то

Rj+1(x)= Rj−1(x)− Qj+1(x)Rj(x)= A′(x)P(x)+B ′(x)Q (x),

где $A ′(x)$ и $B ′(x)$ некоторые многочлены. По индукции получаем, что последний ненулевой остаток

Rk(x)= A(x)P(x)+B (x)Q(x).

Так как $Rk(x)= (P(x),Q (x)),$ утверждение доказано.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse