Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
делится на 
и 
Докажите, что 
делится на 
![P(x)∈ ℝ[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/289991/index-ac3bb60ec3720cf1656fb1dd8e91a98e.svg)
(![ℚ[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/289991/index-bde408a2598b5b7386609c7b83ed7d98.svg)
) может быть
единственным образом разложен в виде произведения неприводимых унитарных многочленов из ![ℝ[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/289991/index-9cd67864fd3023c5898ee6d75c424827.svg)
![(ℚ[x])](/api/latex-service/v1/GetSession/289991/index-0181932e1825fb147602833445293c6a.svg)
с точностью до перестановки
сомножителей.
(a) По теореме о линейном представлении НОДа, существуют такие многочлены 
и 
что
Домножим последнее равенство на 
Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 
а значит, и правая часть делится на 
что и требовалось.
(b) Если многочлен неприводим, то утверждение задачи очевидно. Существование такого разложения следует из того, что можно просто
разложить на неприводимые и из каждого многочлена вынести старший член за скобку и получить искомое разложение. Осталось доказать
единственность. Пусть есть два разложения нашего многочлена 
Зафиксируем какое-нибудь 
и будем смотреть, делится ли 
на 
или нет. Если 
делится на 
то 
так как иначе
приводим. Если же 
не делится на 
то 
так как иначе, 
был бы приводим. Поэтому для каждого 
существует 
такое, что 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
