Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Будем полагать, что — неприводим над (в противном случае вместо можно рассмотреть его неприводимый множитель

Покажем, что можно считать, что — многочлен с рациональными коэффициентами. Действительно, пусть — многочлен минимальной степени с рациональными коэффициентами, такой, что (такой многочлен существует, поскольку

Заметим, что любой многочлен делящийся на делится и на Для того, чтобы это доказать, разделим на с остатком: Все участвующие в этом равенстве многочлены, очевидно, имеют рациональные коэффициенты. Так как и а потому делится на однако его степень меньше, чем степень многочлена и, следовательно,

Многочлен не может делиться на поскольку в ином случае при этом многочлен имеет рациональные коэффициенты, поэтому и многочлен По доказанному выше это означает, что что невозможно, если не (из соображения о том, что Но тогда а это не так, поскольку

Рассмотрим многочлен, равный частному и Он имеет рациональные коэффициенты и делится на (так как — неприводимый, при этом не делит но делит Тогда частное многочленов и делится на следовательно, делится на Таким образом, мы нашли многочлен с рациональными коэффициентами, на квадрат которого делится Таким образом, можно изначально полагать, что

Итак, имеем равенство где Приведем коэффициенты и к общим знаменателям и Тогда имеем равенство

где После этого из каждого многочлена и вынесем и Получим равенство

Поскольку и константа, стоящая в последнем равенстве перед произведением этих многочленов, должна быть целой. Тогда положим

и получим равенство где Тогда можно полагать, что

Очевидно, что младший коэффициент взаимно прост с Заметим, что где Докажем, что все его коэффициенты делятся на Предположим, что это не так. Рассмотрим одночлен многочлена минимальной степени, который не делится на и положим, что его степень равна Тогда так как — многочлен ненулевой степени. Коэффициент при одночлене степени не делится на так как младший коэффициент взаимно прост с (остальные слагаемые делятся), но у многочлена коэффициент при одночлене степени делится — противоречие.

Значит, и старший коэффициент делится на Этот коэффициент равен где — старший коэффициент Поскольку по условию, то делится на