Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны многочлен 
с целыми коэффициентами и натуральное число 
Старший коэффициент и свободный член многочлена 
взаимно просты с 
остальные коэффициенты делятся на 
Известно, что многочлен 
делится на 
для некоторого
многочлена 
ненулевой степени. Докажите, что степень 
делится на 
Подсказка 1
Во-первых, Q всегда можно заменить на его неприводимый множитель, если сам Q не является неприводимым. А можно ли свести задачу к случаю, когда Q рационален?
Подсказка 2
Можно! Для этого достаточно показать, что если Q₁ — минимальный многочлен с рациональными коэффициентами, делящийся на Q, то P(x) делится на квадрат многочлена Q₁. Как это сделать?
Подсказка 3
Верно! Для начала нужно показать, что если многочлен с рациональными коэффициентами делится на Q, то он делится и на Q₁ (это легко сделать простым делением с остатком). А что будет, если теперь рассмотреть частное P и Q₁?
Подсказка 4
Точно! Если Q² не делит Q₁, то это будет означать, что многочлен с рациональными коэффициентами, равный частному P и Q₁, делится на Q! А это уже означает, что он делится на Q₁, и мы докажем заявленное утверждение. А как показать, что Q₁ не делится на квадрат Q?
Подсказка 5
Конечно! В противном случае производная многочлена Q₁, имеющая рациональные коэффициенты, делится на Q, следовательно, делится и на Q₁, а это невозможно, ведь Q₁ непостоянный! Итак, можно считать, что Q имеет рациональные коэффициенты. А можно ли теперь вообще считать, что Q имеет целые коэффициенты?
Подсказка 6
Можно! Для этого нужно просто аккуратно вынести знаменатели из равенства P(x) = Q²(x)R(x), чтобы получить произведение многочленов с целыми коэффициентами, а потом вынести содержание. Полученная константа перед произведением, очевидно, целая. Понятно, что для решения задачи достаточно доказать, что производная P делится на n. А как можно удобно представить производную P?
Подсказка 7
Верно! Легко заметить, что P' = QS, где Q и S — многочлены с целыми коэффициентами. Можно ли теперь, используя знания о многочлене P, доказать, что все коэффициенты S делятся на n?
Будем полагать, что 
— неприводим над 
(в противном случае вместо 
можно рассмотреть его неприводимый множитель
Покажем, что можно считать, что 
— многочлен с рациональными коэффициентами. Действительно, пусть 
—
многочлен минимальной степени с рациональными коэффициентами, такой, что 
(такой многочлен существует, поскольку
Заметим, что любой многочлен ![F ∈ ℚ[x],](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-edb33ad04909ca8381a9cff7e24f12c1.svg)
делящийся на 
делится и на 
Для того, чтобы это доказать, разделим 
на 
с остатком: 
Все участвующие в этом равенстве многочлены, очевидно, имеют рациональные коэффициенты. Так как
и 
а потому 
делится на 
однако его степень меньше, чем степень многочлена 
и, следовательно,
Многочлен 
не может делиться на 
поскольку в ином случае 
при этом многочлен 
имеет рациональные
коэффициенты, поэтому и многочлен ![Q′1 ∈ ℚ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-0d919190293385765a7c4d690cf284fd.svg)
По доказанному выше это означает, что 
что невозможно, если 
не 
(из
соображения о том, что 
Но тогда 
а это не так, поскольку 
Рассмотрим многочлен, равный частному 
и 
Он имеет рациональные коэффициенты и делится на 
(так как 
—
неприводимый, при этом 
не делит 
но делит 
Тогда частное многочленов 
и 
делится на 
следовательно, 
делится на 
Таким образом, мы нашли многочлен 
с рациональными коэффициентами, на квадрат которого делится 
Таким
образом, можно изначально полагать, что ![Q ∈ ℚ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-dbbb8e1c3f24f26a1375bf02ac60ba3b.svg)
Итак, имеем равенство 
где ![Q,R ∈ℚ [x],](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-d475d8a1a54c0eee3cb15600998d06c7.svg)
![P ∈ ℤ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-11597e075122ccab41760f2341b1b515.svg)
Приведем коэффициенты 
и 
к общим знаменателям 
и
Тогда имеем равенство
где ![Q2,R2 ∈ℤ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-99c62900e40e9a01696b35d94ab09dc3.svg)
После этого из каждого многочлена 
и 
вынесем 
и 
Получим равенство
Поскольку 
и 
константа, стоящая в последнем равенстве перед произведением этих многочленов, должна быть
целой. Тогда положим
и получим равенство 
где ![Q ,R ∈ℤ[x].
3 4](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-f519f4ab900f9d277f375d107fea0856.svg)
Тогда можно полагать, что ![Q ∈ ℤ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-90aa6b184efc76ede996e31dd54f8803.svg)
Очевидно, что младший коэффициент 
взаимно прост с 
Заметим, что 
где ![S ∈ ℤ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/147193/index-2b5f9f3a393623ced74808374708c7df.svg)
Докажем, что все его коэффициенты делятся на 
Предположим, что это не так. Рассмотрим одночлен многочлена 
минимальной
степени, который не делится на 
и положим, что его степень равна 
Тогда 
так как 
— многочлен
ненулевой степени. Коэффициент 
при одночлене степени 
не делится на 
так как младший коэффициент 
взаимно прост с 
(остальные слагаемые делятся), но у многочлена 
коэффициент при одночлене степени 
делится —
противоречие.
Значит, и старший коэффициент 
делится на 
Этот коэффициент равен 
где 
— старший коэффициент 
Поскольку
по условию, то 
делится на 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
