Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

По формуле разности квадратов

Преобразуем отдельно каждую скобку.

По формуле разности квадратов

Далее применим формулы сумму и разности кубов

Разложим теперь По формуле суммы кубов

Получаем, что

Очевидно, что и неприводимы над Квадратные трехчлены и тоже неприводимы над так как если бы они были приводимы, то имели бы корни, которых у них нет, так как их дискриминант равен -3. Аналогично, — неприводим.

Осталось проверить, что неприводим над Понятно, что он не может раскладываться в виде так как тогда бы у него был целый корень, однако все его корни комплексные. Тогда единственный возможный вариант разложения — это Покажем, что и это невозможно. Для начала раскроем скобки и сгруппируем.

Тогда, так как полученный многочлен должен быть тождественно равен исходному, получаем систему уравнений в целых числах на коэффициенты:

Из последнего уравнения получаем так как Тогда из второго получаем или Заметим, что оба варианта невозможны, так как целых решений вместе с уравнением быть не может. Тогда получаем, что действительно неприводим.