Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны взаимно простые многочлены 
и 
с целыми коэффициентами, то есть 
над 
Докажите, что существует такая
константа 
что для любого целого 
выполнено 
Подсказка 1.
Попробуйте вспомнить какое-нибудь уравнение, где участвует НОД многочленов и они сами. Возможно это поможет как-то оценить НОД значений в точке.
Подсказка 2.
Имеет место линейное представление НОДа. То есть существуют многочлены A(x) и B(x) с рациональными коэффициентами такие, что P(x) * A(x) + Q(x) * B(x) = 1. Как можно было бы оценить НОД (P(k), Q(k)), если бы многочлены A и B были бы с целыми коэффициентами?
Подсказка 3.
Правильно! Их НОД был бы не больше 1! Осталось только сделать коэффициенты многочленов A и B целыми.
Заметим, что из взаимной простоты многочленов в 
следует их взаимная простота в 
(иначе они бы не были взаимно простыми в 
).
Тогда понятно, что на самом деле можно решать задачу в 
так как ![P, Q ∈ ℚ[x].](/api/latex-service/v1/GetSession/141052/index-314d9189b7cf1aefe660039bcc3a9129.svg)
Тогда, так как многочлены 
и 
взаимно просты для некоторых многочленов ![A, B ∈ ℚ[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/141052/index-923b3fda9861e44924a80d63fd331d75.svg)
имеет место тождество
Так как коэффициенты многочленов 
и 
рациональны, можно умножить уравнение на 
равное
наименьшему общему кратному всех знаменателей этих многочленов.
Тогда получаем новое тождество 
в котором многочлены 
имеют целые
коэффициенты. Пусть 
Тогда верно равенство 
То есть уравнение 
имеет решение
в целых числах. Но тогда 
Тогда получаем, что 
для любого целого 
В
качестве требуемой константы 
берем 
Таким образом, её существование доказано.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
