Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

По формуле сокращенного умножения Пусть Докажем, что он неприводим.

Пусть Тогда получаем

Теперь снова сделаем замену Тогда в скобке имеем многочлен Попробуем теперь применить критерий Эйзенштейна. Заметим, что свободный член равен — простому числу. Осталось доказать, что остальные коэффициенты делятся на

Заметим, что как многочлен над так как для делится на а старший коэффициент и свободный член многочлена равны и соответственно. Преобразуем это равенство:

Тогда получаем, что над Подставим Получаем Таким образом, все коэффициенты многочлена кроме старшего, делятся на

Таким образом, для многочлена выполняется критерий Эйзенштейна, значит, он неприводим. Тогда исходный многочлен тоже неприводим, так как мы использовали линейную замену Таким образом, — искомое разложение на неприводимые.