Неприводимость и разложение на неприводимые многочлены

Предположим, что он представим виде произведения двух целочисленных многочленов и ненулевой степени. Получается, что Если произведение двух целых чисел равно то одно из них равно а другое —

Заметим, что

Если нечётно, то по принципу Дирихле степень одного из многочленов строго меньше Пусть это многочлен Он в точках принимает значения Следовательно, хотя бы в из них он принимает одно и то же значение. По нашему предположению значит у нулевая степень, пришли к противоречию.

При чётном такой же принцип Дирихле работает во всех случаях кроме следующего: в одной половине точек равен а — в другой — наоборот (можно поменять знаки, но для определённости рассмотрим этот случай). Заметим, что в этом случае многочлены и имеют одинаковый набор корней. Следовательно, они могут отличаться лишь домножением на константу. Учитывая, что многочлен унитарный и все коэффициенты и целые, понимаем, что

Если рассмотреть другую половину ашек, то мы получим, что Таким образом, пришли к противоречию.